Было решено при транспонировании использовать дополнительные ноты, которые разместили внутри наиболее длинных интервалов 9/8 и 10/9. Задача упростилась, но всех проблем решить так и не удалось.
В VI в. до н. э. к проблеме подключился великий математик и блестящий музыкант Пифагор. Исследовав поведение струны на специальном приборе монохорде, он создал свою теорию музыкальной гармонии. Мелодичность октавы 1:2 и трехзвучия 4:5:6 подтвердилась, но не решала вопросы транспонирования. Продолжив анализ соотношений простых чисел, Пифагор предложил взять за основу нового ряда квинту — соотношение 3:2. Вот этот звукоряд, который в свое время произвел настоящую революцию в музыкальной акустике (рис. 5.3):
Если в этой системе взять в качестве опорной ноту до и принять ее частоту равной, к примеру, 384 Гц, то можно рассчитать частоты остальных нот. Поскольку они окажутся в разных октавах, то для создания всего диапазона полученные частоты нужно умножить или разделить на 2 нужное число раз.
Кстати, за основной тон, определяющий весь музыкальный строй, в истории музыки принимались звуки разной частоты. В прошлом она менялась от 400 до 462 Гц. Международный конгресс в Вене в 1885 г. для этого тона установил частоту 435 Гц. Принятие единого камертона совпало с утверждением в России равномерной темперации, что позволило сблизить отечественную музыкальную культуру с западноевропейской. В 1934 г. в соответствии с рекомендациями Международной организации мер и весов в СССР был принят Госстандарт ОСТ-7710, утвердивший в музыке эталон частоты — Ля первой октавы 440 Гц, который действует и поныне.
Пифагорова комма или «волчья квинта»
Пифагорейский строй позволил исполнителям без особых проблем переходить из тональности в тональность, поэтому он был принят музыкантами и с некоторыми изменениями продержался более 2000 лет. Но существенные недостатки все равно остались. И дело даже не в том, что по Пифагору между основными нотами следовало размешать не одну, а две дополнительные ноты, так как частота повышенной ноты не равнялась частоте следующей пониженной. Здесь был выход — при необходимости обе промежуточные ноты просто объединяли в одну, усреднив две частоты. Во-первых, это удобно — существующие инструменты переделывать не надо, во-вторых, далеко не каждый слушатель способен различить фальшь. Проблема оказалась в том, что целое число квинт не укладывалось в целое число октав; то есть при настройке чистых октав квинты оказывались фальшивыми и по характеру звучания назывались «волчьими». Это противоречие получило название «Пифагорова комма» (от греческого comma — отрезок). Комма существенно затрудняла настройку инструментов — если удавалось настроить квинты, то полученная октава отличалась от идеальной на 1,3%, что очень много. И наоборот, чистая октава приводила к фальшивым квинтам. Выход находили за счет анализа исполняемого произведения. Выясняли, какие ноты использоваться не будут, и фальшивые интервалы выводили именно на них. При работе по такой методике музыкальному инструменту требовалась постоянная и крайне сложная подстройка.