Чистый строй
В XVI в., основываясь на работах Аристоксена, Птолемея и Дидима, выдающиеся теоретики Фольяни и Царлино вводят в практику так называемый чистый строй. В нем интервалы 81/64, 27/16, 32/27, 128/8заменены на, соответственно, 5/4, 5/3, 6/5, 8/5. Смещение частот было вызвано тем, что, хотя мелодия в Пифагоровом строе звучала прекрасно, но одновременное звучание нескольких нот — область гармонии — не всегда оказывалось столь совершенным. Поправки Птолемея позволяли компенсировать этот недостаток.
Чистый строй основывается на следующих (чистых) интервалах: прима — 1:1, октава — 2:1, квинта — 3:2, кварта — 4:3, большая терция — 5:4, малая терция — 6:5, большая секунда — 10:9, малая секунда — 16:15 и соответствующих обращениях.
Как и Пифагоров, чистый строй сохранил принципиальный недостаток — в нем частоты одних и тех же звуков постоянно меняются. Не замкнутость чистого и Пифагорова строя не дают возможность использовать их в полной мере на инструментах с фиксированной настройкой — фортепиано, орган, гитара и других.
Равномерная темперация — модель Веркмейстера
С повсеместным внедрением клавишных инструментов Пифагоров строй Рухнул, и ему на смену пришли иные принципы построения музыкальных туковых систем, основанные на другой математике.
В конце XVII-гo в. великий органист и теоретик музыки Андреас Веркмейстер предложил свою модель звукоряда — равномерно темперированный строй. Темперация в переводе с латинского temperatio означает правильное соотношение, соразмерность. Образованным от него музыкальным термином называют выравнивание соотношений между ступенями звукоряда; установление системы звуков различной высоты.
Веркмейстер решил сохранить 12 традиционных нот — 7 основных и 5 дополнительных, а комму устранить за счет перестройки частоты нот внутри октавы.
Постановка задачи незамысловата — в 7 октав должно укладываться 12 квинт. Решение также простое и изящное — чистота октав это святое, поэтому жертвуем чистотой квинт. Было предложено, чтобы высота каждой последующей ноты отличалась от предыдущей, как корень двенадцатой степени из 2х относится к единице. В упрощенном виде это отношение можно записать следующим образом: 1,059:1. Интервальный коэффициент малой секунды при этом составляет 21/12. Здесь нет разницы между диезами и бемолями так как в интервале, равном целому тону, находится только одна дополни тельная нота.